چگونه تبدیل z - فیشر به تحلیل همبستگی کمک می کند؟

سلام! به عنوان یک تامین کننده فیشر، من از نزدیک دیدم که چگونه محصولات فیشر و مفاهیم آماری مانند تبدیل فیشر در زمینه های مختلف نقش مهمی ایفا می کنند. امروز، من می‌خواهم بدانم که چگونه تبدیل z - فیشر به تحلیل همبستگی کمک می‌کند.

درک تحلیل همبستگی

ابتدا اجازه دهید کمی در مورد تحلیل همبستگی صحبت کنیم. همبستگی همه چیز در مورد اندازه گیری رابطه بین دو متغیر است. ما از یک ضریب همبستگی که معمولاً با (r) نشان داده می شود، برای تعیین کمیت این رابطه استفاده می کنیم. مقدار (r) از 1- تا 1+ متغیر است. مقدار 1+ نشان دهنده یک رابطه خطی مثبت کامل، - 1 به معنای یک رابطه خطی منفی کامل و 0 به معنای عدم وجود رابطه خطی بین متغیرها است.

با این حال، کار با ضریب همبستگی (r) محدودیت های خود را دارد. یکی از مسائل مهم این است که توزیع نمونه (r) نرمال نیست، به خصوص زمانی که حجم نمونه کوچک است. این غیرعادی بودن می تواند انجام استنباط های آماری مانند آزمون فرضیه ها یا ایجاد فاصله های اطمینان را دشوار کند.

تبدیل فیشر z - را وارد کنید

اینجاست که تبدیل فیشر z - مفید است. فرمول تبدیل (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)) است، که در آن (\ln) لگاریتم طبیعی است.

زیبایی این تبدیل در این است که توزیع غیر نرمال (r) را به توزیع تقریباً نرمال تبدیل می کند. این تقریب با افزایش حجم نمونه بهتر می شود. هنگامی که یک متغیر با توزیع نرمال داریم، می توانیم از ویژگی های شناخته شده توزیع نرمال برای تجزیه و تحلیل آماری استفاده کنیم.

آزمون فرضیه

فرض کنید می خواهیم آزمایش کنیم که آیا ضریب همبستگی در جامعه ((\rho)) برابر با مقدار معینی است یا خیر. برای مثال، ممکن است بخواهیم اگر (\rho = 0) را آزمایش کنیم، به این معنی است که هیچ رابطه خطی بین دو متغیر در جامعه وجود ندارد.

بدون تبدیل z، آزمایش این فرضیه به دلیل نرمال نبودن (r) می تواند دردسر واقعی باشد. اما وقتی (r) را به (z) تبدیل می کنیم، می توانیم از یک z - تست ساده استفاده کنیم. خطای استاندارد (z) تقریباً (\frac{1}{\sqrt{n - 3}}) است، که در آن (n) اندازه نمونه است.

ما آمار z - را برای نمونه خود (z_{sample}) با استفاده از فرمول تبدیل محاسبه می کنیم. سپس، می‌توانیم آن را با مقادیر بحرانی توزیع نرمال استاندارد مقایسه کنیم تا مشخص کنیم که آیا باید فرضیه صفر را رد کنیم یا شکست بخوریم.

فواصل اطمینان

یکی دیگر از جنبه های مهم تحلیل همبستگی، ایجاد فاصله های اطمینان است. فاصله اطمینان طیفی از مقادیر را به ما می دهد که احتمالاً ضریب همبستگی جمعیت واقعی (\rho) در آن قرار دارد.

برای ایجاد فاصله اطمینان برای (\rho)، ابتدا ضریب همبستگی نمونه (r) خود را به (z) تبدیل می کنیم. سپس، فاصله اطمینان (z) را با استفاده از فرمول (z\pm z_{\alpha/2}\times\frac{1}{\sqrt{n - 3}}) محاسبه می‌کنیم، که در آن (z_{\alpha/2}) مقدار بحرانی از توزیع نرمال استاندارد مربوط به سطح اطمینان مورد نظر است.

پس از اینکه فاصله اطمینان (z) را داشتیم، نقاط پایانی را با استفاده از تبدیل معکوس (r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}) به مقیاس ضریب همبستگی برمی‌گردانیم. به این ترتیب، یک بازه اطمینان برای (\rho) به دست می‌آوریم که غیرعادی بودن (r) را به روش دقیق‌تری در نظر می‌گیرد.

نمونه های عملی در محصولات فیشر ما

حال، بیایید ببینیم که چگونه این موضوع با محصولات فیشر ما ارتباط دارد. را بگیریدفیشر 655 محرک. فرض کنید می خواهیم رابطه بین سیگنال ورودی به محرک و جابجایی خروجی را تحلیل کنیم. ما داده‌های مربوط به این دو متغیر را از چندین آزمون جمع‌آوری می‌کنیم.

ما ضریب همبستگی (r) بین سیگنال ورودی و جابجایی خروجی را محاسبه می کنیم. اما اگر بخواهیم در مورد همبستگی واقعی در جمعیت همه آزمون‌های ممکن استنتاج کنیم، از تبدیل z - فیشر استفاده می‌کنیم.

فرض کنید که (r = 0.8) را از نمونه خود پیدا کردیم. آن را به (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + 0.8}{1 - 0.8}\right)\approx1.099 تبدیل می‌کنیم. اگر اندازه نمونه ما (n = 20)، خطای استاندارد (z) است (\frac{1}{\sqrt{20 - 3}}\ approx0.243).

اگر بخواهیم یک فاصله اطمینان 95% برای (z) بسازیم، مقدار بحرانی (z_{\alpha/2}=1.96) است. فاصله اطمینان برای (z) برابر است با (1.099\pm1.96\times0.243=(0.62,1.58)). با تبدیل این نقاط پایانی به مقیاس همبستگی، فاصله اطمینان (\rho) را بدست می آوریم.

به طور مشابه، برایکنترلر سوپاپ دیجیتال Dvc2000، ممکن است به ارتباط بین نقطه تنظیم و موقعیت واقعی شیر علاقه مند باشیم. تبدیل فیشر z - به ما کمک می کند تا این رابطه را با دقت بیشتری تجزیه و تحلیل کنیم و استنتاج های قابل اعتمادی بدست آوریم.

رامبدل فیشر 846محصول دیگری است که در آن تحلیل همبستگی با تبدیل z می تواند مفید باشد. ما می‌توانیم همبستگی بین کمیت فیزیکی ورودی (مانند فشار) و سیگنال الکتریکی خروجی را مطالعه کنیم. با استفاده از تبدیل فیشر z - می توانیم رابطه را بهتر درک کنیم و بر اساس شواهد آماری تصمیم گیری کنیم.

نتیجه گیری و فراخوان برای اقدام

در نتیجه، تبدیل z - فیشر ابزار قدرتمندی در تحلیل همبستگی است. این مسئله بر مسئله غیر نرمال بودن ضریب همبستگی (r) غلبه می کند و به ما امکان می دهد آزمون های فرضیه را انجام دهیم و فواصل اطمینان را با دقت بیشتری بسازیم.

چه با محصولات فیشر ما مانند محرک فیشر 655، کنترل کننده شیر دیجیتال Dvc2000 یا مبدل فیشر 846 کار می کنید، درک و به کارگیری تبدیل z - فیشر می تواند به تجزیه و تحلیل داده ها و تصمیم گیری بهتر منجر شود.

اگر علاقه مند به خرید محصولات فیشر ما هستید یا می خواهید در مورد نحوه استفاده از این مفاهیم آماری در سناریوهای استفاده خاص خود صحبت کنید، در تماس با ما دریغ نکنید. ما اینجا هستیم تا به شما کمک کنیم از محصولات باکیفیت و جدیدترین تکنیک های آماری حداکثر استفاده را ببرید.

مراجع

• فیشر، RA (1915). توزیع فراوانی مقادیر ضریب همبستگی در نمونه‌هایی از یک جمعیت بسیار زیاد. Biometrika، 10 (4)، 507 - 521.
• شیشه، جی وی، و هاپکینز، KD (1996). روش های آماری در تربیت و روانشناسی. آلین و بیکن.